Edad antigua
Aristóteles de Estagira (384
a.c. – 322 a.c.) considerado como creador de la Lógica, sin embargo sus
predecesores desarrollaron y cultivaron la inferencia y la prueba en los
diferentes debates que por aquel tiempo realizaban los filósofos.
En el plano sintáctico y semántico del lenguaje Protágoras
fue el primero en estudiar las oraciones, Platón en su obra Sofista trató
también las afirmaciones y las negaciones, introduce la noción del método axiomático que más tarde fue
completado por Aristóteles cuyo mérito radica el haber sistematizado la lógica
formal codificando las formas de argumentación correcta que es donde radica la
naturaleza de la lógica como ciencia. Los escritos lógicos de Aristóteles están
contenidos en su libro Organon que significa “instrumento” para pensar
correctamente (propedéutica o metodología), este libro contiene los cinco
tratados siguientes: las categorías, las proposiciones, los analíticos,
(primeros y segundos) los tópicos y las refutaciones sofísticas. Los analíticos
es el tratado que contiene la naturaleza de la lógica y el Silogismo que trata
del razonamiento lógico aristotélico usando proposiciones categóricas.
Aristóteles aporta a la lógica la introducción del uso de
variables, las proposiciones por su cantidad y su cualidad, el raciocinio
deductivo, las formalizaciones de la Lógica y el desarrollo silogístico.
Más adelante Teofrasto y Eudemo aportaron los silogismos
hipotéticos condicionales perteneciente a la lógica de las proposiciones los
Megariacos plantean el significado de las proposiciones “Si - entonces” los
Estoicos desarrolla la lógica Verdadero – Falso
de las proposiciones.
Mesopotamia
En Mesopotamia, el Manual de diagnóstico médico de
Esagil-kin-apli, escrito en el siglo XI a. C., se basó en un conjunto lógico de
axiomas y asunciones, entre las que se incluyen la visión moderna de que, a
través del examen e inspección de los síntomas de un paciente, es posible
determinar el problema del mismo, su etiología y su desarrollo futuro, y las
posibilidades de recuperación.1
Durante los siglos VII y VIII, los astrónomos babilonios
empezaron a utilizar una lógica interna en sus sistemas de predicción
planetaria que fue una importante contribución a la lógica y la filosofía de la
ciencia.2 El pensamiento babilónico tuvo una considerable influencia en el
pensamiento de la Grecia arcaica.
Antigua Grecia
En la Antigua Grecia, emergieron dos tradiciones lógicas
opuestas. La lógica estoica estaba enraizada en Euclides de Megara, pupilo de
Sócrates, y con su concentración en la lógica proposicional es la que quizás esté
más próxima a la lógica moderna. Sin embargo, la tradición que sobrevivió a las
influencias de culturas posteriores fue la peripatética, que tuvo su origen en
el conjunto de obras de Aristóteles conocido como Organon (instrumento), la
primera obra griega sistemática sobre lógica. El examen de Aristóteles del
silogismo permite interesantes comparaciones con el esquema indio de la
inferencia y la menos rígida discusión china.
Se considera a Aristóteles el fundador de la lógica como
propedéutica o herramienta básica para todas las ciencias. Aristóteles fue el
primero en formalizar los razonamientos, utilizando letras para representar
términos. También fue el primero en emplear el término «lógica» para referirse
al estudio de los argumentos dentro del «lenguaje apofántico» como manifestador
de la verdad en la ciencia. Sostuvo que la verdad se manifiesta en el juicio
verdadero y el argumento válido en el silogismo: «Silogismo es un argumento en
el cual, establecidas ciertas cosas, resulta necesariamente de ellas, por ser
lo que son, otra cosa diferente». Se refirió en varios escritos de su Órganon a
cuestiones tales como concepto, proposición, definición, prueba y falacia. En
su principal obra lógica, los Primeros analíticos, desarrolló el silogismo, un
sistema lógico de estructura rígida. Aristóteles también formalizó el cuadro de
oposición de los juicios y categorizó las formas válidas del silogismo. Además,
Aristóteles reconoció y estudió los argumentos inductivos, base de lo que
constituye la ciencia experimental, cuya lógica está estrechamente ligada al
método científico. La influencia de los logros de Aristóteles fue tan grande
que en el siglo XVIII Immanuel Kant llegó a decir que Aristóteles había
prácticamente completado la ciencia de la lógica.
En Europa, Aristóteles fue el primero en desarrollar la
lógica. La lógica aristotélica fue ampliamente aceptada en ciencias y
matemáticas y permaneció en uso amplio en Occidente hasta principios del siglo
XIX. El sistema de lógica de Aristóteles fue responsable de la introducción del
silogismo hipotético, de la lógica modal temporal, de la lógica inductiva, así
como de términos influyentes tales como términos, predicables, silogismos y
proposiciones. En Europa durante el último período de la época medieval, se hicieron
grandes esfuerzos para demostrar que las ideas de Aristóteles eran compatibles
con la fe cristiana. Durante la Alta Edad Media, la lógica se convirtió en el
foco principal de los filósofos, que participarían en análisis lógicos críticos
de los argumentos filosóficos, a menudo utilizando variaciones de la
metodología del escolasticismo. En 1323, William de Ockham influyente Summa
Logicae fue publicado. En el siglo XVIII, el enfoque estructurado de los
argumentos había degenerado y había caído en desgracia, como se muestra en el
juego satírico de Holberg Erasmus Montanus.
Los filósofos estoicos introdujeron el silogismo hipotético
y anunciaron la lógica proposicional, pero no tuvo mucho desarrollo.Los
filósofos estoicos introdujeron el silogismo hipotético y anunciaron la lógica
proposicional, pero no tuvo mucho desarrollo.
Por otro lado, la lógica informal fue cultivada por la
retórica, la oratoria y la filosofía, entre otras ramas del conocimiento. Estos
estudios se centraron principalmente en la identificación de falacias y
paradojas, así como en la construcción correcta de los discursos.
En el periodo romano la lógica tuvo poco desarrollo, más
bien se hicieron sumarios y comentarios a las obras recibidas, siendo los más
notables: Cicerón, Porfirio y Boecio. En el período bizantino, Filopón.
Hasta el siglo XIX, la lógica aristotélica y estóica mantuvo
siempre una relación con los argumentos formulados en lenguaje natural. Por eso
aunque eran formales, no eran formalistas. Hoy esa relación se trata bajo un
punto de vista completamente diferente. La formalización estricta ha mostrado
las limitaciones de la lógica tradicional o aristotélica, que hoy se interpreta
como una parte pequeña de la lógica de clases.
A través del latín en Europa occidental y de distintas
lenguas orientales como el árabe, armenio y georgiano, la tradición
aristotélica fue considerada de forma especial para la codificación de las
leyes del razonamiento. Solo a partir del siglo XIX cambió este enfoque.
Antigua India
Dos de las seis escuelas indias de pensamiento están
relacionadas con la lógica: Nyāya y Vaisheshika. Los Nyaya Sutras de Aksapada
Gautama constituyen el núcleo de textos de la escuela Nyaya, una de las seis
escuelas ortodoxas de filosofía hindú. Esta escuela realista trabajó con un
rígido esquema de inferencia de cinco miembros que engloba una premisa inicial,
una razón, un ejemplo, una aplicación y una conclusión. La filosofía budista
idealista se convirtió en la principal oponente de los Naiyayikas. Nāgārjuna,
el fundador del camino intermedio Madhyamika, desarrolló un análisis conocido
como "catuskoti" o tetralemma. Esta argumentación de cuatro aspectos
examinó y rechazó sistemáticamente la afirmación de una proposición, su
negación, la afirmación conjunta y negación, y finalmente, el rechazo de su
afirmación y negación. Pero fue con Dignāga y su sucesor Dharmakirti con
quienes la lógica budista alcanzó su mayor altura. Su análisis, centrado en la
definición de la implicación necesariamente lógica, "vyapti",
conocida también como concomitancia o penetración invariable. A este fin, fue
desarrollada una doctrina conocida como "apoha" o diferenciación.
Comprende lo que se podría llamar la inclusión y exclusión de propiedades
definitorias. Las dificultades concernientes a esta empresa, en parte,
estimularon a la escuela neoescolástica de Navya-Nyāya, que introdujo un
análisis formal de la inferencia en el siglo XVI.
En la India, las innovaciones en la escuela escolástica,
llamado Nyaya, continuaron desde la antigüedad hasta principios del siglo XVIII
con la escuela Navya-Nyaya. Hacia el siglo XVI se desarrollaron teorías
semejantes a la lógica moderna, como "la distinción entre sentido y
referencia de nombres propios" de Gottlob Frege y su "definición de
número", así como la teoría de "condiciones restrictivas para
universales" anticipando algunas de las Desarrollos en la teoría de
conjuntos modernos. Desde 1824, la lógica india atrajo la atención de muchos
estudiantes occidentales y ha influido en importantes lógicos del siglo XIX
como Charles Babbage, Augustus De Morgan y George Boole. En el siglo XX, filósofos
occidentales como Stanislaw Schayer y Klaus Glashoff han investigado la lógica
india más ampliamente.
Antigua China
En China, un contemporáneo de Confucio, Mozi, "Maestro
Mo", es considerado como el fundador de la escuela Mohista (mohísmo), cuyos
principios están relacionados con temas como la inferencia válida y las
condiciones de las conclusiones correctas. En particular, una de las escuelas
que siguieron al mohísmo, los lógicos, es considerada por varios expertos como
la primera que investigó la lógica formal. Desafortunadamente, debido a la
rígida normativa legal durante la dinastía Qin, esa línea de investigación
desapareció de China hasta la introducción de la filosofía india por parte del
budismo. La traducción y la investigación escolar en lógica fue reprimida por
la dinastía Qin, acorde con la filosofía legistaDesam. En India, la lógica duró
bastante más: se desarrolló (por ejemplo con la nyāya) hasta que en el mundo
islámico apareció la escuela de Asharite, la cual suprimió parte del trabajo
original en lógica. A pesar de lo anterior, hubo innovaciones escolásticas
indias hasta principios del siglo XIX, pero no sobrevivió mucho dentro de la
India colonial. El tratamiento sofisticado y formal de la lógica moderna
aparentemente proviene de la tradición griega.
El filósofo lógico chino Gong Sunlong (325-250 AEC) propuso
la paradoja "Uno y uno no pueden ser dos, ya que ninguno se convierte en
dos." [24] En China, la tradición de la investigación académica en la
lógica, sin embargo, fue reprimida por La dinastía Qin siguiendo la filosofía
legalista de Han Feizi.
Representantes
Aristóteles
Los tratados de lógica de Aristóteles (384-332 a.C.),
conocidos como Organón, contienen el primer tratamiento sistemático de las
leyes de pensamiento en relación con la adquisición de conocimiento. Estos
representan el primer intento de establecer a la lógica como ciencia.
Aristóteles da una clasificación de todos los conceptos o nociones (sustancias,
cantidad, relación, acción, pasión, diferencia, propiedad y accidente) y trata
las reglas del razonamiento silogístico. Aristóteles no hace de la lógica una
disciplina metáfisica, pero si establece una correspondencia entre el
pensamiento lógico y la estructura ontológica.
El silogismo fue adoptado por los escolásticos
(representantes del sistema teológico-filosófico, característico de la Edad
Media) quienes la enriquecieron con númerosos y detallados estudios y se
esforzaron en formalizarlo. La escolástica, sin embargo, acabó por sobrecargar
la teoría del silogismo, lo que acarreó su descrédito a partir del
Renacimiento. Los lógicos de la edad moderna (Ramée, Arnauld, Nicole, Leibniz,
Euler, Lambert) procuraron simplificarla al máximo, y su tratamiento matemático
se completó hasta principios del siglo XX (Boole, De Morgan, Frege, Russell).
Desde entonces el silogismo se incluye en la lógica de predicados de primer
orden y en la lógica de clases, y ocupa en la ciencia lógica un papel mucho
menor que el desempeñado en otros tiempos.
Euclides
Este matemático alejandrino publicó numerosas obras entre
las que destacan los célebres ''Elementos'', sin duda el texto matemático más
conocido a lo largo de la historia. Los ''Elementos'' están divididos en trece
libros y constituyen una recopilación de gran parte de las matemáticas
conocidas en tiempos de Euclides; su gran valor reside en el uso riguroso del
método deductivo, distinguiendo entre principios (definiciones, axiomas y
postulados) y teoremas, que se demuestran a partir de los principios. Los
principios de naturaleza puramente geométrica en ''Elementos'' se conocen como
postulados; tres de ellos aseguran la existencia y unicidad de la recta
determinada por dos puntos; el cuarto, la existencia de una circunferencia de
centro y radio dados; y el quinto da condiciones que aseguran que dos rectas se
cortan en un punto. A lo largo de la historia se ha mantenido la sospecha de
que el quinto postulado era demostrable a partir de los anteriores. El deseo de
encontrar tal demostración condujo, en el siglo XIX, a la construcción de
geometrías no euclidianas de las que se deduce la imposibilidad de demostrar el
quinto postulado.
Platón
Edad media
La Lógica Medieval se basa en el trabajo de Aristóteles, es
recogida por los sacerdotes y cultivado mayormente en los conventos, escuelas y
universidades de Europa Occidental.
Los estudios de los lógicos profesionales estuvo dirigido al
comentario del Organon destacando Pedro Hispano y Juan Buridan estableciendo
que “de Dos premisas contradictorias, se puede deducir cualquier conclusión”.
Mundo islámico
Durante un tiempo tras la muerte de Mahoma, la ley islámica
consideró importante formular estándares para los argumentos, lo que dio lugar
a una nueva aproximación a la lógica en Kalam, pero esta aproximación fue más
tarde desplazada por ideas tomadas de la filosofía griega y helenística con el
auge de los filósofos de la escuela Mu'tazili, que valoraron
extraordinariamente el Organon de Aristóteles. Las obras de los filósofos
islámicos con influencias helenísticas fueron cruciales para la recepción de la
lógica aristótelica en la Europa medieval, junto con los comentarios sobre el
Organon elaborados por Averroes. Las obras de al-Farabi, Avicena, al-Ghazali y
otros lógicos musulmanes que en ocasiones criticaron y corrigieron la lógica
aristotélica e introdujeron sus propias formas de lógica, también desempeñaron
un papel central en el subsecuente desarrollo de la lógica europea medieval.
La lógica islámica no solo incluye el estudio de modelos
formales de inferencia y su validación, sino también elementos de la filosofía
del lenguaje y elementos de epistemología y metafísica. Debido a disputas con
gramáticos árabes, los filósofos islámicos estuvieron muy interesados en
trabajar en el estudio de las relaciones entre lógica y lenguaje, y dedicaron
muchas discusiones a la cuestión del objeto de interés y objetivos de la lógica
en relación con el razonamiento y el habla. En el área del análisis
lógico-formal, elaboraron la teoría de los términos, proposiciones y
silogismos. Consideraron el silogismo como la forma a la que toda argumentación
racional podía reducirse, y consideraron la teoría silogística como el punto
central de la lógica. Incluso, la poética fue considerada, en ciertos aspectos,
como un arte silogístico por muchos de los más importantes lógicos islámicos.
Entre los más importantes desarrollos realizados por los
lógicos musulmanes está el de la lógica de Avicena como sustituta de la lógica
aristotélica. El sistema lógico de Avicena fue responsable de la introducción
del silogismo hipotético,4 de la lógica modo-temporal,5 6 y de la lógica
inductiva.7 8 Otro importante desarrollo en la filosofía islámica es el de una
estricta ciencia de la cita, la isnad o "revisión", y el desarrollo
de un método científico de investigación abierta para poner en cuestión
determinadas afirmaciones, la ijtihad, que podía aplicarse normalmente a muchos
tipos de cuestiones. Desde el siglo XII, a pesar de la sofisticación lógica de
al-Ghazali, el auge de la escuela Asharite al final de la Edad Media limitó
poco a poco la obra original sobre lógica en el mundo islámico, aunque continuó
posteriormente en el siglo XV.
Europa medieval
Se entiende habitualmente por "lógica medieval"
(también conocida como "lógica escolástica") la forma de la lógica
aristotélica desarrollada en la Europa medieval en el periodo de c 1200–1600.
Esta tarea comenzó tras las traducciones al latín del siglo XII, cuando textos
árabes sobre lógica aristotélica y la lógica de Avicena fueron traducidos a la
lengua de Roma. Aunque la lógica de Avicena tuvo influencia en los primeros
lógicos medievales europeos tales como Alberto Magno,9 la tradición
aristotélica se convirtió en la dominante debido a la importante influencia del
averroísmo.
Tras la fase inicial de traducciones, la tradición de la
lógica medieval fue desarrollada en manuales como el de Petrus Hispanus (fl.
siglo XIII), de identidad desconocida, que fue autor de un manual estándar
sobre lógica, el Tractatus, que fue bien conocido en Europa durante varios
siglos.
La tradición alcanzó su punto más alto en el siglo XIV, con
las obras de Guillermo de Ockham (c. 1287–1347) y Jean Buridan.
Un rasgo del desarrollo de la lógica aristotélica se conoce
con el nombre de teoría de la suposición, un estudio de la semántica de los
términos de la proposición.
Las últimas grandes obras de esta tradición son Logic de
John Poinsot (1589–1644, conocido como John of St Thomas), y Disputas
metafísicas de Francisco Suárez (1548–1617).
Representantes
Petrus Hispanus
Siglo XIII, (en latín, traducido habitualmente como
Pedro Hispano, menos frecuentemente como Pedro de España) es el nombre con el
que se conoce al autor del Tractatus, más tarde conocido como Summulae
logicalis magistri Petri Hispani, un importante manual de lógica que se utilizó
en las universidades europeas desde el siglo XIII hasta el XVII. También le han
sido atribuidas un buen número de obras sobre medicina, y otro volumen de
lógica: el Sincategoreumata. Gozó de gran difusión una versión interpolada del
Tractatus1 denominada Summulæ logicales magistri Petri Hispani (citado
habitualmente como Summulæ logicales o Summularum), que es la que fue utilizada
por Buridán. El gran número de copias manuscritas e impresas de sus obras es un
buen indicador de su éxito en la Baja Edad Media y el comienzo de la Moderna.
AVERROES
(Cordoba, 1126 – Marrakech, 1198) Averroes (Abu-l-Walid
Muhammad ibn Ahmad ibn Muhammad Ibn Rusd) fue uno de los más importantes
filósofos hispanoárabes de su época. Introdujo el pensamiento aristotélico en
Occidente, su figura ocupa un lugar de honor en la historia del pensamiento
medieval.
Edad Moderna
Un nuevo enfoque adquiere esta lógica en las
interpretaciones racionalistas de Port Royal, en el siglo XVII, (Antoine
Arnauld; Pierre Nicole) pero tampoco supusieron un cambio radical en el
concepto de la Lógica como ciencia.
Los filósofos racionalistas, sin embargo, aportaron a través
del desarrollo del análisis y su desarrollo en las matemáticas (Descartes,
Pascal y Leibniz) los temas que van a marcar el desarrollo posterior. Son de
especial importancia la idea de Descartes de una Mathesis universalis10 y de
Leibniz en la búsqueda de un lenguaje universal, especificado con precisión
matemática sobre la base de que la sintaxis de las palabras debería estar en
correspondencia con las entidades designadas como individuos o elementos
metafísicos, lo que haría posible un cálculo o computación mediante algoritmo
en el descubrimiento de la verdad.11
Aparecen los primeros intentos y realizaciones de máquinas
de cálculo, (Pascal, Leibniz) y, aunque su desarrollo no fue eficaz, sin
embargo la idea de una Mathesis Universal o «Característica Universal», es el
antecedente inmediato del desarrollo de la lógica a partir del siglo XX.
Kant consideraba que la lógica por ser una ciencia a priori
había encontrado su pleno desarrollo prácticamente con la lógica aristotélica,
por lo que apenas había sido modificada desde entonces.12
Pero hace un uso nuevo de la palabra «lógica» como lógica
trascendental, en el sentido de investigar los conceptos puros del
entendimiento o categorías trascendentales.
La lógica del pensar trascendental acaba situándose en un
proceso dialéctico como idealismo subjetivo en Fichte; idealismo objetivo en
Schelling y, finalmente un idealismo absoluto en
Hegel considera la lógica dentro del Absoluto como un
proceso dialéctico del Espíritu Absoluto13 que produce sus determinaciones como
concepto y su realidad como resultado en el devenir de la Idea del Absoluto
como Sujeto14 cuya verdad se manifiesta en el resultado del movimiento mediante
la contradicción en tres momentos sucesivos, tesis-antítesis-síntesis. La
epistemología y la ontología van unidas y expuestas en la Filosofía entendida
ésta como Sistema Absoluto.
Representantes
René Descartes
El punto de partida de este filósofo y matemático francés
(1596-1650) es la duda universal, que consiste de prescindir de cualquier
conocimiento previo que no queda confirmado por la evidencia con que ha de
manifestarse el espíritu. Descartes dudó de toda enseñanza recibida, de todo
conocimiento adquirido, del testimonio de los sentidos e incluso de las
verdades de orden racional. Llegado a este punto, halla una verdad de la que no
puede dudar: la evidencia interior que se manifiesta en su propio sujeto
(pienso, luego existo). Como científico, se debe a Descartes, entre otras
aportaciones de considerable importancia, la creación de la geometría analítica
[5]. Este desarrollo es importante para la ciencia porque hace a la geometría
cuantitativa y permite el uso de métodos algebraicos. La geometría debe ser
cuantitativa para ser usada en la ciencia e ingeniería, y los métodos
algebraicos permiten el desarrollo más rápido que los métodos sistemáticos (más
rigurosos) requeridos por el enfoque axiomático de la geometría clásica.
Isacc Newton
A Isacc Newton (1642-1727) se le debe el descubrimiento de
la gravitación universal, el desarrollo del cálculo infinitesimal e importantes
descubrimientos sobre óptica, así como las leyes que rigen la mecánica clásica.
Gottfried W. Leibniz
Filósofo
y matemático alemán (1646-1716); fundó la Academia de Ciencias de Berlín
(1700). En ''Discurso sobre el arte combinatorio'' enuncia la necesidad de un
lenguaje riguroso, exacto y universal (un lenguaje puramente formal). Como
matemático, su principal trabajo (publicado en 1684) es la memoria intitulada
''Nuevo método para la determinación de los máximos y los mínimos'', en el que
expone las ideas fundamentales del cálculo infinitesimal, anticipándose unos
años a Newton. La notación que empleó es particularmente cómoda y se sigue
utilizando con algunas modificaciones; introdujo el símbolo de integral y de
diferencial de una variable. En el área de lógica matemática publicó
''Generales inquisitiones de analysi notionum et veritatum'' y ''Fundamenta
calculi logici''.
Edad Contemporánea
Históricamente, Descartes puede que haya sido el primer filósofo
en haber tenido la idea de usar el álgebra, especialmente sus técnicas para
resolver cantidades desconocidas en las ecuaciones, como vehículo para la
exploración científica. La idea de un cálculo de razonamiento fue también
cultivada por Gottfried Wilhelm Leibniz. Leibniz fue el primero en formular la
noción de un sistema de lógica matemática aplicable de forma generalizada. Sin
embargo, los documentos relevantes al respecto no fueron publicados hasta 1901
y muchos de ellos siguen sin estar publicados, y la actual comprensión del
poder de los descubrimientos de Leibniz no empezó a desarrollarse hasta los
años ochenta.
Gottlob Frege en su Begriffsschrift (1879) extendió la
lógica formal más allá de la lógica proposicional para incluir constructores como
"todo" y "algunos". Mostró cómo introducir variables y
cuantificadores para revelar la estructura lógica de las oraciones, que podría
estar ocultas tras su estructura gramatical. Por ejemplo, "Todos los seres
humanos son mortales" se convierte en "Toda cosa x es tal que, si x
es un ser humano entonces x es mortal." La peculiar doble notación
dimensional de Frege hizo que su obra fuese ignorada durante muchos años.
En un magistral artículo de 1885 leído por Peano, Ernst
Schröder y otros, Charles Peirce introdujo el término "Lógica de segundo
orden" proporcionando la mayor parte de la moderna notación lógica,
incluyendo los símbolos prefijados para la cuantificación universal y
existencial. Los lógicos de finales del siglo XIX y de comienzos del XX estuvieron
más familiarizados con el sistema lógico de Peirce-Schröder, aunque
generalmente se reconoce que Frege es el Padre de la lógica moderna.
En 1889, Giuseppe Peano publicó la primera versión de la
axiomatización lógica de la aritmética. Cinco de los nueve axiomas15 son
conocidos como axiomas de Peano. Uno de estos axiomas fue una formalización del
principio de la inducción matemática.
Siglo XIX
A partir de la segunda mitad del siglo XIX, la lógica sería
revolucionada profundamente. En 1847, George Boole publicó un breve tratado
titulado El análisis matemático de la lógica, y en 1854 otro más importante
titulado Las leyes del pensamiento. La idea de Boole fue construir a la lógica
como un cálculo en el que los valores de verdad se representan mediante el 0
(falsedad) y el 1 (verdad), y a los que se les aplican operaciones matemáticas
como la suma y la multiplicación.
Al mismo tiempo, Augustus De Morgan publica en 1847 su obra
Lógica formal, donde introduce las leyes de De Morgan e intenta generalizar la
noción de silogismo. Otro importante contribuyente inglés fue John Venn, quien
en 1881 publicó su libro Lógica Simbólica, donde introdujo los famosos
diagramas de Venn.
Charles Sanders Peirce y Ernst Schröder también hicieron
importantes contribuciones.
Sin embargo, la verdadera revolución de la lógica vino de la
mano de Gottlob Frege, quien frecuentemente es considerado como el lógico más
importante de la historia, junto con Aristóteles. En su trabajo de 1879, la
Conceptografía, Frege ofrece por primera vez un sistema completo de lógica de
predicados. También desarrolla la idea de un lenguaje formal y define la noción
de prueba. Estas ideas constituyeron una base teórica fundamental para el
desarrollo de las computadoras y las ciencias de la computación, entre otras
cosas. Pese a esto, los contemporáneos de Frege pasaron por alto sus
contribuciones, probablemente a causa de la complicada notación que desarrolló
el autor. En 1893 y 1903, Frege publica en dos volúmenes Las leyes de la
aritmética, donde intenta deducir toda la matemática a partir de la lógica, en
lo que se conoce como el proyecto logicista. Su sistema, sin embargo, contenía
una contradicción (la paradoja de Russell).
Siglo XX
El siglo XX sería uno de enormes desarrollos en lógica. A
partir del siglo XX, la lógica pasó a estudiarse por su interés intrínseco, y
no sólo por sus virtudes como propedéutica, por lo que estudió a niveles mucho
más abstractos.
En 1910, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publican
Principia mathematica, un trabajo monumental en el que logran gran parte de la
matemática a partir de la lógica, evitando caer en las paradojas en las que
cayó Frege. Los autores reconocen el mérito de Frege en el prefacio. En
contraste con el trabajo de Frege, Principia mathematica tuvo un éxito rotundo,
y llegó a considerarse uno de los trabajos de no ficción más importantes e
influyentes de todo el siglo XX. Principia mathematica utiliza una notación
inspirada en la de Giuseppe Peano, parte de la cual todavía es muy utilizada
hoy en día.
Si bien a la luz de los sistemas contemporáneos la lógica
aristotélica puede parecer equivocada e incompleta, Jan Łukasiewicz mostró que,
a pesar de sus grandes dificultades, la lógica aristotélica era consistente, si
bien había que interpretarse como lógica de clases, lo cual no es pequeña
modificación. Por ello la silogística prácticamente no tiene uso actualmente.
Además de la lógica proposicional y la lógica de predicados,
el siglo XX vio el desarrollo de muchos otros sistemas lógicos; entre los que
destacan las muchas lógicas modales.
Representantes
Guiseppe Peano
La enunciación de los principios del italiano Guiseppe Peano
(1858-1932) acerca de lógica matemática y su aplicación práctica quedaron
contenidos en su obra ''Formulaire de mathematiques''. Los axiomas de Peano
permiten definir el conjunto de los números naturales.
David Hilbert
El matemático alemán David Hilbert (1862-1943) fue un
enconado defensor de la axiomática como enfoque principal de los problemas
científicos, esto es, de partir de un conjunto cerrado e inamovible de premisas
para construir la base fundamental de cualquier estudio. A partir de las
fuentes griegas de Euclides, publicó en 1899 su obra ''Fundamentos de
Geometría'', en la que mediante un exhaustivo análisis y perfeccionamiento de
las ideas euclidianas, formuló sus principios de axiomatización. Según sus
teorias, es necesario establecer un conjunto de postulados básicos antes de
plantear de modo más detallado cualquier tipo de problema físico o matemático.
Estos principios deben ser simbólicos, sin recurrir a dibujos y
representaciones gráficas, y es necesario preveer la mayoría de las
posibilidades con antelación. Su concepción reconocía tres sistemas de entes
geométricos (puntos, rectas y planos) a los que podían aplicarse axiomas
distribuidos en cinco diferentes categorías: pertenencia, orden, igualdad o
congruencia, paralelismo y continuidad.
Friedrich G. Frege
Junto con Boole y Peano, el matemático y lógico Friedrich G.
Frege (1848-1925) inicio la corriente de pensamiento que, partiendo del
análisis de los fundamentos de la matemática, llevó a cabo la mas profunda
renovacion y desarrollo de la lógica clásica. Fue el primero en introducir los
cuantificadores u operadores y en elaborar una teoría de la cuantificación.
George Boole
El lógico y matemático George Boole (1815-1864) aplicó el
cálculo matemático a la lógica, fundando el álgebra de la lógica, que en cierto
modo realiza el sueño de Leibniz de una ''characteristica universalis'' o
cálculo del raciocinio. El empleo de símbolos y reglas operatorias adecuados
permite representar conceptos, ideas y razonamientos mediante variables y
relaciones (ecuaciones) entre ellas. Boole dio un método general para
formalizar la inferencia deductiva, representando complicados raciocinios
mediante sencillos sistemas de ecuaciones. Así, la conclusión de un silogismo
se encuentra eliminando el término medio de un sistema de tres ecuaciones,
conforme a las reglas del álgebra común, La formalización de la lógica,
iniciada por Boole, ha contribuido poderosamente a aclarar la estructura de los
objetos lógicos, en contraposición a los materiales y aun en contraposición a
los matemáticos, pese a las analogías formales entre la matemática y la lógica,
que Boole señaló. Su obra principal es ''Investigación de las leyes del
pensamiento'' en las que se fundan las teorías matemáticas de la lógica y la
probabilidad (1854), que aun hoy se lee con deleite.
Augustus De Morgan
La mayor contribución de Augustus De Morgan (1806-1871) en
el estudio de la lógica incluye la formulación de las leyes de Morgan y su
trabajo fundamenta la teoría del desarrollo de las relaciones y la matemática
simbólica moderna o lógica matemática. De Morgan hizo su más grande
contribución como reformador de la lógica.
Georg F. Cantor
Al matemático alemán Georg F. Cantor (1845-1918) se debe la
idea del ''infinito coninuo'', es decir, la posibilidad de considerar conjuntos
infinitos dados simultáneamente. Se le considera el creador de la teoria de los
números irracionales y de los conjuntos.
Gentzen
El alemán Gentzen (1909-1945) formuló la prueba de la
consistencia de un sistema de aritmética clásica, en el cual el método no
elemental es una extensión de inducción matemática a partir de una secuencia de
números naturales a un cierto segmento de números ordinales transfinitos .
Bertrand Rusell
Bertrand Rusell (1872-1970) es uno de uno de los creadores
de la logística y uno de los pensadores de mayor influencia en la filosofía
científica contemporánea. Lo fundamental de su obra está en sus aportes a la
lógica. Decididamente antiaristotélico, llegó a afirmar que quien quería
iniciarse en la lógica debía comenzar por no estudiar la lógica de Aristóteles.
Por influencia de los trabajos de Cantor descubrió en la teoría de conjuntos
varias paradojas que resolvió mediante la teoría de los tipos; años más tarde
establecería una teoría similar, la de la jerarquía de los lenguajes, para eliminar
las paradojas semánticas. Siguiendo los trabajos de Cantor, Peano y Frege,
Rusell se propuso fundamentar y axiomatizar la matemática a partir de conceptos
lógicos. Este empeño culminó con la publicación (1910-1913) de los monumentales
''Principia Mathematica'' (en colaboración con Whitehead), obra que, además,
sentaba las bases de la moderna lógica formal.
Kurt Gödel
Kurt Gödel (1906-1978) tuvo múltiples contribuciones a la
lógica matemática, destacando la demostración de la consistencia de la
hipótesis cantoriana del continuo y el teorema y la prueba de incompletez
semántica. En ''Sobre las proposiciones indecidibles de los sistemas de
matemática formal'' establece que es imposible construir un sistema de cálculo
lógico suficientemente rico en el que todos sus teoremas y enunciados sean
decidibles dentro del sistema. Con este teorema se demostró definitivamente que
era imposible llevar a cabo el programa de la axiomatización completa de la
matemática propugnado por Hilbert y otros, ya que, según él, no puede existir
una sistematización coherente de la misma tal que todo enunciado matemático
verdadero admita demostración. Siempre habrá enunciados que no son demostrables
ni refutables. Para probar esta aserción se sirvió de la matematización de la
sintaxis lógica.
Alan Turing
Matemático y lógico
quien fue pionero en la teoría de la computación y contribuyó en importantes
análisis lógicos de los procesos computacionales. Las especificaciones para la
computadora abstracta que él ideó (llamada la Máquina de Turing) resultó ser
una de sus mas importantes contribuciones a la teoría de la computación. Turing
además probó que es posible construir una máquina universal que con una
programación adecuada podrá hacer el trabajo de cualquier máquina diseñada para
resolver problemas específicos [9].Alan Turing inventó la máquina que lleva su
nombre (Máquina de Turing) en un intento por determinar si toda la matemática
podia ser reducida a algún tipo simple de computación. Su objetivo fué
desarrollar la máquina más simple posible capaz de realizar computación. La
máquina propuesta por Turing es un dispositivo relativamente simple, pero capaz
de realizar cualquier operación matemática. Turing abrigó la ilusión de que su
máquina tenía una capacidad tal que, potencialmente, podría ser capaz de
realizar cualquier cosa realizable por el cerebro humano, incluyendo la
capacidad de poseer conciencia de si mismo. Pese a ser considerados formalmente
equivalentes, distintos modelos de computación presentan estructuras y comportamientos
internos diferentes.
Norbert Weiner
El científico norteaméricano Norbert Weiner (1894-1964) en
1947 publica su libro más famoso: ''Cibernética, o control y comunicación en el
animal y la máquina''; en donde se utiliza por primera vez la palabra
Cibernética. Existen muchas definiciones de Cibernética (del griego kybernetes,
piloto), Norbert Weiner dio vida a la palabra mediante una definición muy
simple: ''Ciencia que estudia la traducción de los procesos biológicos a
procesos de máquina''. En un inicio, la Cibernética estaba muy ligada a
ciencias como neurología, biología, robótica e inteligencia artificial.
Alfred Tarski
Matemático y lógico polaco nacido en 1902, quien realizo
importantes estudios de álgebra en general, teoría de mediciones, lógica
matemática, teoría de conjuntos, y metamatemáticas.
La Revolución Digital
Esta revolución inicio con la invención de la computadora
digital y el acceso universal a redes de alta velocidad. Turing une a la lógica
y la computación antes que cualquier computadora fuera inventada. Weiner funda
la ciencia de la cibernética. En la escuela moderna de la computación están
presentes lógicos que han permitido avances importantes: Hoare presenta un
sistema axiomático de los sistemas de programación y Dijkstra un sistema de
verificación y deducción de programas a partir de especificaciones.
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